Vài điều về các nguyên tắc của cơ học lượng tử và ý nghĩa của chúng

Cách đây vài thập kỷ, nếu nhà vật lý nào đó ngồi suy nghĩ về cơ sở của cơ học lượng tử thì người đó có thể dễ dàng bị liệt vào loại lập dị. Có lẽ là do lúc đó, và cả một thời gian dài sau này, các nhà vật lý học đã rất bận bịu với việc xây dựng lý thuyết các hạt cơ bản và lý thuyết các hệ ngưng tụ. Quá bận bịu đến nỗi họ chẳng có thời giờ mà suy nghĩ nhiều đến những vấn đề cơ sở của cơ học lượng tử nữa. Đa số các nhà vật lý lựa chọn shut up and calculate, theo như cách nói của Mermin. Nền tảng của cơ học lượng tử, kể từ Bohr, Heisenberg, Schrödinger và Dirac, xem ra có vẻ chẳng có gì đáng nói thêm nữa. Chẳng phải ngẫu nghiên mà khi Bell viết bài báo kinh điển của mình năm 1964 đã phải ‘rào đón’ rất kỹ rằng bài báo này chỉ dành cho những ai quan tâm đến lý thuyết biến số ẩn (hidden variable theory - một lý thuyết nhằm thay thế cho cơ học lượng tử truyền thống.)

Nhưng các vấn đề cơ bản của cơ học lượng tử thực ra không phải đã được giải quyết. Chúng chỉ bị lãng quên. Sau khi mọi thứ có thể tính toán đã được tính, những thứ tính toán không được thì vẫn không tính được, rảnh việc hơn, các nhà vật lý đã có thời gian để soi lại chính mình, soi lại cơ học lượng tử. Và hoá ra họ cũng phải thừa nhận rằng sau bấy nhiêu tiến bộ, ta vẫn chẳng hiểu thêm được bao nhiêu về cơ học lượng tử.

Sách giáo khoa vật lý học một thời gian dài trình bày cơ học lượng tử như một lý thuyết hoàn thiện về cơ sở hạ tầng. Tất cả những việc ta phải làm là tính toán và tính toán. Đây cũng không phải lỗi của người viết sách, mà bản thân lịch sử vật lý học đã phát triển như vậy. Bản thân tôi một thời gian dài cũng lầm tưởng. Tôi cứ nghĩ rằng những vấn đề cơ sở mà tôi không hiểu từ ngày đó chỉ là vấn đề cá nhân của tôi; các nhà vật lý đã hiểu về chúng cả mấy chục năm nay, và rằng tôi chỉ cần tìm và hỏi họ. Và khi đã tìm và hỏi không ít người, tôi mới nhận ra rằng hoá ra các vấn đề cơ bản, các nhà vật lý cũng vẫn không thực sự hiểu. Cơ sở của cơ học lượng tử vẫn là một câu chuyện mở.

Nhưng đây chẳng phải là điều gì đó tệ hại. Có lẽ nó làm cho vật lý học sinh động hơn toán học. Các nhà vật lý học có thể dễ dàng nói về cái mà bản thân họ không thực sự hiểu. Họ giống như chúng ta trong cuộc sống thường ngày, được dẫn dắt bởi trực giác, hơn là suy luận thuần tuý logic.

‘Rào đón’ bấy nhiêu chắc đủ để không bị liệt vào hàng lập dị. Ta hãy cùng nhau dành vài phút xét lại những nguyên lý của cơ học lượng tử. Phần khung lý thuyết của cơ học lượng tử thật ra rất đơn giản, chỉ gồm có bốn nguyên tắc chính:

• Một hệ cơ học lượng tử được biểu diễn bởi một không gian Hilbert (nguyên tắc này còn được gọi là nguyên lý chồng chất trạng thái)
• Trạng thái của hệ được biểu diễn bởi các vector chuẩn hoá của không gian
• Các quan sát thực hiện trên hệ được biểu diễn bằng một toán tử hermitian
• Nếu hệ ở trạng thái \(\psi\), thì giá trị trung bình của quan sát tương ứng với toán tử \(X\) cho bởi \[ \langle \psi, X \psi \rangle \]

Các khái niệm toán học liên quan ở đây đều cơ bản. Đây đó ta có thể nghe các quảng cáo rằng cơ học lượng tử cần các công cụ phức tạp, nào phương trình đạo hàm riêng, giải tích hàm, lý thuyết nhóm... Giống như mọi chương trình quảng cáo, những khẳng định đó đều ít nhiều là khuyếch đại hoá vấn đề, hoặc ít ra là đánh lạc hướng vấn đề. Tất cả những khái niệm toán học đó chỉ là các công cụ. Chúng chỉ là cái ta dùng để tính toán. Chúng có thể khó khi ban đầu bắt gặp, nhưng là công cụ, dùng dần ta sẽ quen. Nếu ta thông minh một chút, như Feynman chẳng hạn, ta còn có thể tạo ra công cụ toán học khi ta cần. Công cụ toán học, suy cho cùng là vấn đề của logic. Cái khó thực sự của cơ học lượng tử nằm ở trực giác vật lý. Phải chăng chính Feynman khi phán rằng ‘chẳng có ai là người hiểu cơ học lượng tử cả,’ là muốn chỉ đến cái trực giác này?

Cái khó của vật lý học không phải ở việc giải các phương trình, và là việc viết ra và đọc các phương trình.

Bạn đọc yên tâm. Các chi tiết kỹ thuật tính toán trong cơ học lượng tử không phải là mục đích của bài viết này. Ở đây ta quan tâm đến bản chất logic của các nguyên tắc của cơ học lượng tử. Ở đây, mọi khái niệm ta cần để xem xét các vấn đề cơ bản đều có trong kiến thức toán đại cương năm thứ nhất đại học: đại số tuyến tính. Và thế là đủ. Để tránh quá dài dòng vào các vấn đề chi tiết đó, tôi sẽ không nhắc lại chúng ở đây; bạn đọc nếu đã quên hoặc chưa biết, có thể tra cứu nhanh ở một sách giáo khoa toán đại cương thích hợp.

1. Điều đầu tiên ta cần nhấn mạnh là các nguyên tắc này có tính phổ dụng. Nghĩa là hệ của ta có thể đơn giản chỉ là một spin hai trạng thái, một điện tử chuyển động trong không gian, hàng vô số điện tử trong vật rắn, trường, etc... tất cả đều tuân theo đúng quy tắc trên. Tức là không gian trạng thái là một không gian Hilbert, trạng thái tương ứng với vector, quan sát tương ứng với toán tử, vân vân.

Theo tôi, lĩnh hội được điều này là một điểm quan trọng để lĩnh hội cơ học lượng tử. Từ những ngày đi học, tôi cứ lầm tưởng rằng cơ học lượng tử là nói về một electron, các hạt cơ bản, chúng chuyển động và tán xạ thế nào. Và chẳng hạn, lý thuyết trường là một bậc cao hơn của cơ học lượng tử. Không phải. Cơ học lượng tử, ở dạng trừu tượng này là phổ dụng. Là dĩ bất biến. Lý thuyết nguyên tử, lý thuyết hạt nhân, lý thuyết trường lượng tử... đều là áp dụng cùng các nguyên tắc của cơ học lượng tử này cho các tính huống khác nhau mà thôi.

Ta hãy để ý là điều này hơi khác biệt với các định luật Newton. Các định luật Newton phát biểu cho chất điểm. Khi áp dụng cho các hệ phức tạp hơn, ta phân tích các hệ phức tạp thành các hệ chất điểm và áp dụng định luật Newton. Với các nguyên tắc trên, cơ học lượng tử áp dụng cho hệ một cách toàn cục. Hệ phức tạp hay hệ đơn giản đều tuân theo cùng các nguyên tắc đó. Tính chất này của các nguyên tắc của cơ học lượng tử gần giống với mô hình cơ học cổ điển của Lagrange hoặc Hamilton hơn, chứ không giống như mô hình cơ học sơ cấp Newton.

2. Các nguyên tắc đề cập đến hệ cơ học lượng tử, nhưng không hề nói các thực thể vật lý (physical entity) thế nào thì có thể coi là một hệ cơ học lượng tử.

Khi dùng từ các thực thể vật lý, tôi muốn nói đến những thứ quanh ta. Kỳ lạ là tôi không thể nào nói rõ hơn những thứ xung quanh ta chính xác là gì. Một nguyên tử, một electron, trường điện từ... Ta có gì chắc chắn chúng là các thực thể độc lập? Hãy lấy ví dụ từ trường (không tính đến điện trường), từ trường không phải là một thực thể vật lý độc lập để ta có thể áp dụng cơ học lượng tử. Và ngoài những thứ kể trên, còn gì khác nữa?

Ta hãy lấy một ví dụ cơ bản: một electron tự do trong không gian là một hệ cơ học lượng tử. Đây là điều ta học từ các bài học vỡ lòng về cơ học lượng tử. Tuy nhiên, trong thực tế lý thuyết trường lượng tử lại coi trường Dirac là một hệ cơ học lượng tử, và một electron trong không gian chỉ là một không gian con các trạng thái của trường lớn. Cách nghĩ nào đúng? Cả hai. Và tôi muốn nhấn mạnh rằng cả hai đều đúng ở mức độ cơ bản ngang nhau. Tôi hoàn toàn không chắc chắn rằng ta có thể, hoặc nên, coi lý thuyết trường là bức tranh cơ bản hơn của cơ học lượng tử một hạt electron.

Như ta thấy, việc khoanh vùng đâu là một hệ cơ học lượng tử có thể đôi khi mơ hồ, có thể đôi khi chồng lấp. Điều này cũng là một lý do khiến cho cơ học lượng tử có khả năng ‘ứng vạn biến.’ Ta có thể tưởng tượng xây dựng cơ học lượng tử cho một hệ thống thuần tuý kỳ quặc, chẳng hạn như cơ học lượng tử của hình tam giác thuần tuý hình học (!)

Và cuối cùng, để minh hoạ rằng câu trả lời thực thể vật lý nào có thể coi là một hệ cơ học lượng tử vốn phức tạp, tôi muốn đề cập rằng câu hỏi trường hấp dẫn có phải là một hệ cơ học lượng tử hay không, theo giới hạn hiểu biết của tôi, vẫn chưa có một câu trả lời được chấp nhận rộng rãi.

Bản thân tôi cảm thấy sự phân vùng xác định đâu là một hệ cơ học lượng tử trong thực tế có thể thuộc về một trong những vấn đề tế nhị nhất trong nền tảng của vật lý học lượng tử, thậm chí đi sâu và xa hơn nhiều so với thảo luận đề cập trên đây. Để minh hoạ thêm điều này, tôi lấy ví dụ về khái niệm không thời gian. Một cách mà ta hiểu về các hệ vật lý là một khối vật chất tồn tại trong không thời gian. Tuy nhiên gần đây, các nhà vật lý đang phát triển khái niệm không thời gian thứ sinh. Theo đó thì có thể thế giới của ta bao gồm các hệ cơ học lượng tử, tồn tại theo một cách trừu tượng nào đó, mà không thời gian là khái niệm thứ cấp sinh ra từ đó. Đây là một ý tưởng hết thú vị. Điều tôi muốn nói ở đây là, việc mường tượng một thực thể tồn tại trong không thời gian như một hệ cơ học lượng tử sẽ không còn hoàn toàn thích hợp nữa. Theo một nghĩa nhất định, không thời gian tồn tại ‘giữa’ các vật thể. Tôi không khẳng định các lý thuyết này là đúng, hiện nay chúng đều còn nằm ở mức độ nghiên cứu. Tôi chỉ muốn nói rằng, ta sẽ cần phải để một đầu óc cởi mở khi đặt câu hỏi thực thể nào là một hệ cơ học lượng tử? Câu trả lời thực sự không hoàn toàn đơn giản như ta vẫn hằng tưởng.

3. Hãy để ý tôi nhấn mạnh từ biểu diễn, ý tôi vẫn là muốn phân biệt rõ ràng các hệ vật lý (physical entity) với cái không gian Hilbert, là công cụ toán học để biểu diễn chúng. Tương tự như vậy, ta sẽ phải phân biệt ‘trạng thái’ với các vector biểu diễn chúng, các ‘quan sát khả dĩ’ với các toán tử biểu diễn chúng.

Khi đã định hình một hệ vật lý, ta phải map các trạng thái vật lý của chúng vào không gian Hilbert. Thông thường ta nắm bắt trực giác được một số trạng thái cần biểu diễn. Chẳng hạn như trạng thái electron ở một vị trí nhất định trong không gian, hoặc trạng thái chân không của một trường lượng tử. Quá trình map này thường nhờ vào một số trạng thái làm mốc như vậy, kết hợp với nguyên lý chồng chất để hoàn tất các vector trạng thái khác.

Việc định hình các quan sát cũng được thực hiện tương tự. Ta thường cần phải bắt đầu từ một ý niệm nhất định về các quan sát khả dĩ thực hiện trên hệ. Cơ học lượng tử hoàn toàn không cho ta biết các quan sát khả dĩ này là gì. Các nguyên tắc của nó chỉ đòi hỏi chúng được mô tả bằng các toán tử. Ta cần có một ý niệm tiên nghiệm về các quan sát khả dĩ, trước khi biểu diễn chúng bằng các toán tử.

Tuy nhiên làm thế nào để ta xác định các trạng thái vật lý khả dĩ, các quan sát vật lý khả dĩ trên một hệ cơ học lượng tử? Ta bắt đầu đụng chạm đến một vấn đề rắc rối: tính bán cổ điển của các nguyên tắc của cơ học lượng tử, ít nhất ở dạng hiện thời. Để xác định một hệ vật lý (1), các trạng thái vật lý cơ bản, và các quan sát cơ bản thực hiện trên chúng (2), ta thường bắt đầu với những khái niệm cổ điển. Dù muốn hay không, thực tế là ta suy nghĩ bằng các khái niệm cổ điển. Ta nhận thức các phép đo, các trạng thái qua các con số như cơ học cổ điển, chứ không phải như các toán tử. Ta không suy nghĩ bằng các toán tử. Đây có thể là vấn đề thuộc về bản chất của nhận thức.

Dù sao đi nữa, đây vẫn là phương pháp tiêu chuẩn khi áp dụng các nguyên tắc của cơ học lượng tử cho một hệ vật lý nhất định. Ta bắt đầu với một ý niệm vật lý nhất định về hệ cần đo, dựa trên các khái niệm cổ điển. Chẳng hạn ta bắt đầu với ý niệm cổ điển về toạ độ \(x\) và xung lượng \(p\) của hạt. Sau đó ta mới thực hiện lượng tử hoá, tức biểu diễn các ý niệm này thành các toán tử. Cụ thể là trong trường hợp trên, ta nói toạ độ và xung lượng được biểu diễn bởi các toán tử không giao hoán, \([x,p]=i \hbar\). Rõ ràng là một quá trình tương đối tuỳ tiện về toán học. Đành rằng toạ độ \(x\) và xung lượng \(p\) là không giao hoán, nhưng có gì đảm bảo \([x,p]=i \hbar\)? Nhưng như tôi đã nói, vật lý học được dẫn dắt bởi trực giác. Và kinh nghiệm của vật lý học lượng tử qua nhiều thập kỷ cho ta những cách lượng tử hoá, tức biến các khái niệm cổ điển trực giác thành toán tử của cơ học lượng tử, sao cho kết quả thu được phù hợp với thực nghiệm. Phù hợp với thực nhiệm vẫn là tiêu chuẩn vàng của vật lý học. Và sự phù hợp với thực nghiệm hiện nay đã được đo đạc chính xác ngoài sức tưởng tượng. Và theo tôi, còn là ngoài mong đợi. Tôi chưa bao giờ hết ngạc nhiên là những kết quả đo đạc từ những giả thiết trông như tuỳ tiện đó lại chính xác đến thế. Quả là những phát kiến trực giác thiên tài.

Nhưng ta vẫn phải bắt đầu với những trực giác cổ điển về thế giới. Đây là điều tôi muốn nhấn mạnh.

4. Tính bán cổ điển của các nguyên tắc của cơ học lượng tử thường được nhấn mạnh khá muộn, ở nguyên tắc thứ 4 (giá trị trung bình của các quan sát khả dĩ). Như tôi đã nói, bản chất bán cổ điển này thực ra bao trùm cả bốn nguyên tắc. Nhưng đúng là ở nguyên tắc thứ 4, tính bán cổ điển này rõ ràng hơn cả. Ta bắt đầu với các con số, ta đi đến các toán tử, nhưng ta vẫn cần phải trở lại với những con số, trực giác cổ điển mà ta quen thuộc. Đây là nội dung của nguyên tắc thứ 4.

Nguyên tắc thứ 4 ở dạng mà tôi phát biểu đã ẩn đi các giả định vật lý. Thực tế, nguyên tắc thứ 4 này của cơ học lượng tử thường được cụ thể hoá hơn bởi khái niệm máy đo. Máy đo là một hệ thống thiết kế để đo đạc một quan sát khả dĩ tương ứng với toán tử \(X\). Máy đo, theo nghĩa truyền thống là một hệ cơ học cổ điển, chúng có các kim chỉ các con số nhất định mà ta có thể đọc. Quá trình tương tác của một hệ cơ học lượng tử với máy đo sẽ khiến cho kim chỉ của máy đo nhảy đến giá trị riêng \(\lambda_i\) của toán tử \(X\) và với xác xuất \( |\langle \phi_i, \psi \rangle|^2\), trong đó \(\phi_i\) là vector riêng tương ứng với giá trị riêng \(\lambda_i\).

Tuy nhiên thừa nhận rằng máy đo là các hệ cơ học cổ điển, có các kim chỉ các con số mà ta có thể đọc, mâu thuẫn với tính thống nhất của thế giới vật chất. Máy đo cũng là một hệ vật chất, cũng phải mô tả bởi cơ học lượng tử, hà cớ gì các kim chỉ chỉ các số nhất định, mà không phải chồng chất lượng tử giữa chúng? Tại sao máy đo tuân theo các khái niệm cổ điển?

Trong một thời gian rất dài, đây là câu hỏi làm đau đầu các nhà vật lý suy nghĩ về cơ sở của cơ học lượng tử. Tin vui là, từ những cố gắng nhen nhúm từ những năm bảy mươi kéo dài đến ngày nay, ta đã đạt được một bước tiến dài. Một phần quan trọng của câu hỏi đã được trả lời tương đối thuyết phục bởi lý thuyết suy thoái lượng tử (decoherence theory). Tôi hi vọng có dịp quay trở lại giải thích lý thuyết này chi tiết hơn. Nhưng ý tưởng của nó về cơ bản thì rất đơn giản: máy đo là một hệ vĩ mô có tương tác liên tục với muôn vàn các hệ vật chất khác (ánh sáng, không khí, các hạt cơ bản, vân vân). Từ sự tương tác đó, tính chất lượng tử bị ẩn giấu đi vào một hệ lớn bao gồm bản thân máy đo và toàn bộ ánh sáng, không khí, các hạt cơ bản, nói chung là môi trường. Nếu ta chỉ nhìn vào máy đo mà thôi, ta sẽ thấy các khái niệm cổ điển thứ sinh: kim chỉ có giá trị xác định, xung lượng có giá trị xác định, và vân vân.

Lý thuyết suy thoái lượng tử thực sự đã có một bước tiến rất dài trong hiểu biết của chúng ta về sự thứ sinh các khái niệm cổ điển từ các khái niệm lượng tử. Tôi coi đó là một cuộc cách mạng. Tuy nhiên tôi cho là vấn đề vẫn chưa hoàn thiện. Ta thực sự mới bắt đầu hiểu được một chiều của mối quan hệ: chiều trở lại từ cơ học lượng tử về với thế giới cổ điển. Mà như tôi đã nói, tính bán cổ điển của cơ học lượng tử thật ra bao trùm cả bốn nguyên tắc. Một hiểu biết thực sự có lẽ phải là một mối quan hệ hai chiều giữa thế giới lượng tử và thế giới cổ điển. Một hiểu biết như vậy có thể đụng chạm đến những vấn đề sâu xa về bản chất của nhận thức. Với tất cả những gì tôi được biết, đây vẫn là điều chưa được sáng tỏ.

Sau tất cả những phân tích này, tôi muốn nói rằng chúng ta (ý tôi muốn nói đến các bạn sinh viên đang bắt đầu học cơ học lượng tử) cần phải có một quan niệm động hơn về các nguyên tắc của cơ học lượng tử. Các nguyên tắc đó không hoàn thiện, chúng sống động và có thể cần phải bổ sung thay đổi tuỳ theo nhận thức của chúng ta theo thời gian. Tôi đã cân nhắc dùng từ nguyên tắc, chứ không phải ‘nguyên lý’ (vốn tĩnh) hay ‘tiên đề’ (vốn nhân tạo). Nguyên tắc không phải là thứ bất di bất dịch.

Tôi hi vọng đây là tin vui với các bạn sinh viên: bí mật của vật lý học và cơ học lượng tử vẫn còn đang ở phía trước. Chúng ta về cơ bản vẫn đang cùng nhau đứng ở vạch xuất phát.

Gặp gỡ với Lev Vaidman

Tôi có dịp gặp gỡ và trò chuyện với Lev Vaidman khi ông ghé thăm trường tôi. Lev Vaidman là tác giả của phép đo yếu trong cơ học lượng tử, tác giả của phép thử bomb Elitzur-Vaidman và nhiều nghịch lý khác.

Nhóm tôi cùng ăn tối, nói chuyện. Khi ra về, do cùng đường, tôi dắt xe đi bộ cùng ông về khách sạn nơi ông ở để tỏ lòng thân thiện. Tôi hỏi ông đang làm việc ở đâu, thầm chột dạ về sự thiếu hiểu biết của mình. Ông nói ‘Tel Aviv University.’ Ông hỏi tôi đã tốt nghiệp chưa. Tôi trả lời ‘đã.’ Và để tiếp tục câu chuyện, tôi bắt đầu thao thao: nào tôi có thời gian làm về abc, nào là tôi chuyển sang làm xyz...

‘Chắc ông quen thuộc với xyz lắm rồi?’ để lịch sự tôi ngừng lại hỏi.

‘Chả quan tâm,’ (I don't care) ông vừa cười vừa trả lời gọn lỏn.

Tôi: ‘...,’ và thầm nghĩ ‘that's interesting!’ Nếu ai đó nói điều gì mới lạ, thì phản ứng của tôi cũng như nhiều người tôi biết là sẽ hỏi lại thêm, hi vọng để học thêm điều gì đó. Nhưng Lev chả quan tâm! Và tôi biết ông không quan tâm thật. Thật là một cách làm việc thú vị! Tôi còn có dịp nhận được cũng một câu trả lời tương tự từ một người nổi tiếng khác mà có thể tôi sẽ viết lại sau. (Ít lâu sau tôi có dịp đáp lại Lev cũng bằng một câu tương tự, khi ông mời tôi review một bài báo.)

Cũng may khách sạn của ông ở ngay trước mặt, và tôi chẳng phải nghĩ ngợi gì nhiều để nói cho câu chuyện dài thêm. Chúng tôi chia tay. Tôi chúc ông ngủ ngon, còn ông thì nói có ấn tượng rất tốt về tôi.

Câu chuyện trong bữa ăn cũng thú vị. Lev vốn từng tham gia thi học sinh giỏi khi còn học phổ thông, nên rất ưa thích các câu đố mẹo. Đây là hai câu đố của ông:

A) ‘Một chiếc ô tô chạy trên một mặt phẳng rộng vô hạn. Mặt phẳng nhiễm điện dương đều khắp nơi. Người trên ô tô ném lên theo phương thẳng đứng đối với mình một quả bóng tích điện âm. 1) Đối với người trên mặt đất: Quả bóng đi xiên lên do cộng vận tốc với ô tô. Lực tác dụng lên quả bóng hoàn toàn theo phương thẳng đứng. Như vậy vận tốc nằm ngang của quả bóng không đổi. Quả bóng đi một đường parabol và rơi xuống đúng chỗ người ném lên. 2) Đối với người trên xe. Quả bóng đi lên thẳng đứng. Nhưng mặt phẳng tích điện dưới chân chuyển động sẽ tạo ra từ trường. Từ trường này, xét cẩn thận sẽ làm lệch quả bóng về phía sau so với vị trí người ném lên. Như vậy quan sát trong HQC 1 là đúng hay HQC 2 là đúng?’

Trả lời: Trong hệ quy chiếu trái đất, khối lượng động của hạt thay đổi, nên thực tế hình chiếu lên mặt phẳng nằm ngang của vận tốc sẽ nhỏ đi và kết quả là hạt thực sự rơi ra phía sau ô tô chứ không chính xác rơi vào ô tô, phù hợp với kết quả xét trong hệ quy chiếu với ô tô.

B) ‘Trong bình kính chứa chất lỏng không nén được. Máy đo áp suất đáy bình báo \(p_0\). Đáy bình có một bọt khí. Bọt khí đột ngột nổi lên mặt trên của bình kín. Hỏi máy đo áp suất thay đổi thế nào?’

Trả lời: Áp suất tăng lên một lượng \(\rho g h\), trong đó \(\rho\) là khối lượng riêng chất lỏng, \(g\) là gia tốc trọng trường, ,\(h\) là chiều cao bình. Lý do là ban đầu bọt ở đáy bình, áp suất ở đáy bình bằng áp suất khí trong bọt. Chất lỏng không nén được, nên khi nổi lên thể tích của bọt khí vẫn không đổi. Áp suất trong bọt khí do đó cũng không đổi, nay bằng áp suất ở mặt bình. Kết quả là áp suất mặt dưới bình sẽ tăng lên một lượng \(\rho g h\).

Tôi nghĩ cả hai câu đều khá thú vị. Tôi trả lời được câu (A), còn câu (B) vốn đã biết đáp án từ ngày học phổ thông. Rồi chúng tôi lan man sang các câu đố khác rất vui vẻ. Bữa đó tôi cảm giác trẻ lại như hồi còn học phổ thông, say mê suy nghĩ về những câu đố vui kiểu như vậy. Sau này đi làm, cơm áo gạo tiền, chắc chẳng còn mấy ai giữ lại được cái cảm giác ấy nữa.

Về một dạng nghịch lý đường hầm của thuyết tương đối hẹp

Câu hỏi này lấy từ Facebooker Lê Tuấn: ‘Xét một thanh có độ dài nghỉ \(L_0\), chuyển động với vận tôc \(v\) từ trái qua phải trượt trên một mặt phẳng (hệ quy chiếu Trái đất). Trên mặt phẳng có một khe có độ rộng \(L_0\). Do sự co Lorentz, độ dài đo được của thanh trên hệ quy chiếu Trái đất là \(L < L_0\), do đó khi đi qua khe, thanh sẽ bị kéo rơi xuống phía dưới mặt phẳng. Tuy nhiên trong hệ quy chiếu chuyển động với thanh, thanh dài \(L_0\), và mặt phẳng chuyển động nên khe hẹp lại là \(L\). Hỏi rằng làm thế nào mà thanh rơi xuống dưới được mặt phẳng?’

Câu hỏi này đúng là rất gần với nghịch lý đường hầm, tuy nhiên có một chút khác biệt thú vị. Ta hãy bắt đầu với nghịch lý đường hầm, và đi đến câu trả lời cho câu hỏi trên.

1. Nghịch lý đường hầm: Một con tàu có độ dài nghỉ \(L_0\), chuyển động với vận tốc \(v\) từ trái qua phải chui vào đường hầm có độ dài \(L_0\). Do chuyển động, chiều dài đo được của con tàu là \(L < L_0\), do đó sẽ nằm gọn trong đường hầm. Khi con tàu nằm gọn trong đường hầm, ta đóng cửa ở hai đầu đường hầm. Tuy nhiên trong hệ quy chiếu gắn với con tàu, đường hầm chuyển động (ngược lại), do đó có độ dài đo được là \(L\), ngắn hơn con tàu \(L_0\). Làm thế nào mà nó có thể nằm lọt trong đường hầm?

Câu trả lời trong trường hợp này là, thực ra trong hệ quy chiếu của mình, con tàu không bao giờ nằm trọn vẹn trong đường hầm. Ta hãy đánh dấu hai đầu con tàu từ trái qua phải là b và a, hai đầu đường hầm từ trái qua phải là B và A. Tàu chuyển động từ trái qua phải. Trong hệ quy chiếu Trái đất, cửa B và A đồng thời đóng lại, nhốt con tàu ở trong. Sau một thời gian nhất định, con tàu sẽ chuyển động tiếp và đầu a xô vào cửa A. Trong hệ quy chiếu của con tàu, ta sẽ thấy sự kiện đóng cửa B và A là không đồng thời. Cụ thể là cửa A sẽ đóng trước, con tàu tiến vào, đầu a xô vào cửa A, sau đó khi đầu b đạt đến B, thì cửa B mới đóng lại.

2. Mặt phẳng dâng lên: Thay đổi bài toán ban đầu chút ít. Thay vì xét thanh chuyển động trong trọng trường (hay lực gì khác) và rơi xuống, ta giả sử không có lực tác dụng. Và khi thanh nằm giữa khe, ta nâng nhanh đồng thời (trong hệ quy chiếu Trái đất) mặt phẳng. Kết quả là thanh bây giờ sẽ nằm dưới mặt phẳng. Điều này vẫn hoàn toàn là nghịch lý đường hầm. Tương tự như trên, từ trái qua, ta đánh dấu hai đầu của thanh là b và a, và hai bờ của khe là B và A tương ứng. Trong hệ quy chiếu của thanh, ta sẽ thấy bờ A dâng lên trước, thanh đi xuống dưới nửa mặt phẳng bên phía A, trong khi đó phía vẫn ở trên mặt phẳng phía B. Chỉ khi đầu b đạt đến B, bờ B mới dâng lên, và kết quả là toàn bộ thanh cũng nằm bên dưới mặt phẳng. Để ý rằng: mặt phẳng vốn nằm ngang trong hệ quy chiếu Trái đất, sẽ không chuyển động song song nằm ngang trong hệ quy chiếu của thanh nữa (đầu A lên trước, đầu B lên sau).

3. Thanh bị kéo xuống: Tiếp tục thay đổi bài toán chút ít. Giờ thay vì dâng mặt phẳng lên, khi thanh nằm giữa khe, ta kéo nhanh thanh xuống dưới mà không để ảnh hưởng gì đến chuyển động song song của nó với mặt phẳng. Kết quả thanh cũng sẽ đi xuống dưới mặt phẳng. Trong hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc \(v\) ta thấy gì? Nên nhớ chiều dài của thanh trong hệ quy chiếu này dài hơn so với chiều dài khe. Thật ra ta sẽ thấy đầu a của thanh xuống trước, trong khi đầu b vẫn chưa xuống. Sau một khoảng thời gian, khi đầu b đạt đến bờ B, nó mới đi xuống. Như vậy thực tế thanh sẽ nằm nghiêng trong quá trình đi xuống và 'fit' vào với độ dài hẹp hơn của khe.

Cho đến bây giờ, bài toán vẫn thuần tuý là nghịch lý đường hầm mà thôi. Tuy nhiên lập luận này làm sáng tỏ rằng: trong hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc \(v\), thanh dài hơn khe, nhưng nó vẫn có thể đi xuống dưới khe hẹp mà không có mâu thuẫn gì. Do đó ta có thể giới hạn làm việc trong hệ quy chiếu Trái đất (và biến đổi hệ quy chiếu khi cần thiết).

Vấn đề thực sự của câu hỏi lại hơi tế nhị hơn, và thực ra là một vấn đề động lực học chứ không thuần tuý là động học. Câu hỏi thực sự là dưới lực tác dụng, khi nào thì thanh rơi xuống, và rơi xuống thế nào? Đây thực tế là một câu hỏi phức tạp, liên quan đến khái niệm vật rắn trong thuyết tương đối hẹp. Thực tế thì chuyển động thực của thanh phụ thuộc tương tác giữa các thành phần trong thanh. Để thấy rõ điều này, ta hãy mô hình hoá sự đồng bộ hoá chuyển động của thanh như sau: hai người đứng ở hai đầu thanh a và b để phát tín hiệu đồng bộ chuyển động cho nhau. Có hai trường hợp xảy ra:

4a. Đầu a điều khiển. Khi đầu a đạt đến B, thì người a phát tín hiệu về b và đi xuống ngay lập tức. Điều này có thể tương ứng với trường hợp toàn bộ khối lượng thanh tập trung ở đầu a. Các phần còn lại của thanh chuyển động đồng bộ theo lực đàn hồi liên kết chúng. Trong trường hợp này ta thấy đầu a đi xuống trước, sau đó đầu b đi xuống sau. Trường hợp này không có gì lạ, thanh rơi xuống dưới.

4b. Đầu b điều khiển. Khi đầu a đạt đến B, thậm chí đi qua, thanh vẫn không đi xuống. Đến khi đầu b đạt đến B, b phát tín hiệu về a và đi xuống. Bức tranh này tương ứng với trường hợp toàn bộ khối lượng, tức tâm trọng lực của thanh, tập trung ở đầu b. Tuy nhiên, ngay khi đó đầu a cũng sẽ không đi xuống ngay, mà phải chờ cho đến khi thu được tín hiệu của b thì mới bắt đầu đi xuống. Tính toán một chút ta sẽ thấy rằng a chỉ có thể nhận được tín hiệu của b khi bản thân đã đạt đến bờ A.

Thật vậy, khi đầu b đạt đến B, đầu a cách A một lượng \(L_0-L\). Người b sẽ phát tín hiệu ánh sáng chuyển đến a, vốn vẫn đang chuyển động với vận tốc \(v\). Tín hiệu do đó vượt qua khoảng cách \(L\) giữa hai người sau khoảng thời gian \(L/(c-v)\). Trong thời gian đó đầu a, đi thêm được một đoạn \(v L/(c-v)\). Biến đổi đơn giản ta sẽ thấy \(v L/(c-v) \ge L_0-L\). Thật vậy, để ý rằng \(L=L_0\sqrt{1-v^2/c^2}\), do đó bất đẳng thức trên tương đương với \(\sqrt{(c+v)/(c-v)} \ge 1\) luôn luôn được thoả mãn với \(v \ge 0\).

Nếu ta cho rằng khi đạt đến bờ A, đầu a có thể bám dính và kéo đầu b sang theo, thì đây là trường hợp mà thanh có thể vượt sang bên kia khe. Trong hệ quy chiếu Trái đất, đây là một kết luận không tầm thường. Nếu trọng tâm của thanh nằm ở b, thì đầu a sẽ kéo giãn thanh và đạt đến bờ bên kia. Trong hệ quy chiếu của thanh, hiện tượng tương đối rõ ràng. Thanh dài hơn, nhưng đầu a, vốn không điều khiển chuyển động thẳng đứng của thanh có thể đi qua khe dễ dàng đạt đến bờ bên kia và kéo đầu b sang theo (dù đầu này bị trọng lực kéo xuống).

Trên đây là hai trường hợp giới hạn. Tất nhiên ta có thể phân tích các trường hợp phức tạp hơn. Điểm chủ yếu ta sẽ phải xét đến sự truyền tín hiệu giữa các phần của thanh để đồng bộ hoá chuyển động của nó trong thực tế. Cũng là một câu hỏi hay ho.

Ông vua tháng Chạp tí hon

Một trong những thứ tôi yêu thích nhất ở châu Âu là những tủ sách cộng đồng. Giữa công viên, giữa thành phố, hay trong một viện nghiên cứu, nói chung là bất kỳ đâu, ta có thể tìm được một cái tủ nhỏ, nơi mọi người có thể để lại sách của mình, có thể là vì muốn người khác được cái may mắn đọc cuốn sách mà ta yêu thích, hay là hành trang đã quá nặng mà đành phải để lại cuốn sách của mình khi rời đi. Dù sao tôi cũng thấy ở nó một cái gì đó nhân văn, và thơ mộng. Mỗi lần ngó vào những tủ sách đó, tôi lạị thấy hết sức thú vị khi hình dung ra một cậu bé, một cô bé, một bà cụ đã đặt vào đó cuốn sách của mình. Tôi tò mò xem cậu bé đó, cô bé đó, bà cụ ấy đã đọc những gì. Đôi khi tự mỉm cười thích thú phát hiện ra một một cuốn sách mà tôi yêu thích.
Một buổi tình cờ lang thang trong phòng đọc của viện Max Planck, tôi vớ được cuốn ‘Ông vua tháng chạp tí hon’ của Axel Hecke. Sách viết bằng tiếng Đức, mà tôi chỉ có thể đọc ở mức chữ được chữ không. Vậy mà tôi đã yêu thích nó ngay từ những dòng đầu tiên. Đây là mấy đoạn trích:
Đoạn mở đầu:

Trong một thời gian ông vua tháng Chạp đệ Nhị bé tí và béo phệ thường viếng thăm tôi. Ông vua dài không hơn ngón tay trỏ và béo đến nỗi cái áo choàng đỏ với viền lông trắng dày không đóng nổi trước bụng.
Ông mê món pho-mát nướng. Khi ăn một miếng, ông phải ôm nó bằng cả hai tay và giữ chặt. Ông vua tí hon chỉ có thể nâng miếng pho-mát lên một chút, vì mỗi miếng pho-mát nướng đã to gần bằng cả nửa người. Ông ngoạm vào miếng pho-mát, cắn ra một miếng to khi hỏi tôi câu hỏi quen thuộc:
‘Cậu kể cho ta nghe về thế giới của cậu đi!’
Khi ông viếng thăm lần đầu, tôi nói: ‘Ở chỗ chúng tôi thì người ta được sinh ra, lớn dần lớn dần lên, đôi khi lớn cả như một cầu thủ bóng rổ. Cuối cùng thì người ta bé lại một chút. Rồi chết, con người biến mất.'
‘Thật vô lý,’ ông vua tí hon nói và cắn một miếng. ‘Tại sao người ta không bắt đầu từ khi to lớn, bé dần bé dần và cuối cùng biến mất - hiển nhiên rồi, bởi vì không còn ai thấy được nữa.’
‘Tôi tin là điều đó ngược với tự nhiên.’
‘Ở chỗ tôi thì mọi việc như thế đấy!’, ông vua nói. ‘Cha ta, vua tháng Chạp đệ Nhất một ngày kia đã trở nên bé xíu đến nỗi người hầu không còn thấy ông trên giường vào buổi sáng. Cùng ngày đó ta đăng quang.’
‘Nhưng làm thế nào mà một người to lớn có thể được sinh ra?’, tôi thắc mắc. ‘Lúc nào đó nguời ta phải nằm trong bụng mẹ, mà mẹ thì không thể bé hơn con được!’
‘Nằm trong bụng?’, ông vua Tháng Chạp thốt lên. ‘Hô hô! Một ngày kia ta tỉnh dậy trên giường, rồi đến dinh hoàng tử để làm việc, đơn giản thế thôi. Ở trong bụng! Rõ ngớ ngẩn! Người ta chỉ việc tỉnh dậy, rồi bắt đầu mọi thứ thôi.’
‘Thế làm thế nào mà người ta lại ở trên giường?’
‘Gượm đã,’ ông vua nói, ‘... ta tin là..., ờ thì một vị vua và một hoàng hậu ... ờ... thế nào ấy nhỉ?... Ta quên rồi! Ta bé quá rồi, người biết mà. Lãng trí. Cái đó tuyệt lắm, ta nhớ được thế thôi.’ Ông khẽ chặc lưỡi rồi cắn tiếp miếng pho-mát.
Tôi nói: ‘Ở chỗ chúng tôi, khi một đứa bé đến với thế giới, nó chả biết gì. Nó sẽ phải học ăn, học đi, học viết. Học sỉ mũi, và học cách ‘‘không nổi giận với mọi người.’’ Nói chung người lớn sẽ mang nó đi đây đó, sẽ quay đầu nó về bên này bên kia, hay nâng cằm nó.’

Mở đầu chương kế:

Có những thời gian tôi buồn, rất buồn bã đến nỗi tôi thường lang thang qua những con phố vào buổi tối và cảm thấy vui mừng khi trời đổ mưa. Phố xá bụi bặm và ướt át, và hình phản chiếu của nỗi buồn trên những vũng nước đọng khiến lòng tôi dịu lại. Tôi cảm thấy bớt lẻ loi.
Lang thang chán, tôi lại leo lên chiếc cầu thang gỗ cũ kỹ trở về căn gác trọ, thả mình lên ghế. Một lần như vậy, ông vua Tháng Chạp mò đến từ khe hở giữa kệ sách và tường, ông hỏi: ‘Cậu đã biến đi đâu vậy?’
‘À...,’ tôi nói.
‘Mọi thứ thế nào?’
Tôi nói: ‘Ààààà...’
‘Cậu làm gì bây giờ?’
‘Ngủ,’ tôi nói.
‘Đến chỗ tôi một lát,’ ông vua Tháng Chạp nói.
‘Làm sao mà tôi đến được?’, tôi nói. ‘Ông ở sau một cái kệ sách, mà đến đấy phải chui qua một cái khe bé tí, và tôi bây giờ thì quá to.’...

Rõ ràng cuốn sách chẳng phải kiểu tiểu thuyết tình yêu lãng mạn, hay thể loại viễn tưởng, trinh thám. Đó là một cuốn sách giản dị, có ít nhiều hơi hướng của Hoàng tử bé. Thế nào đọc nó, ta chẳng bị cuốn đi vào suy tư của tác giả, hay vào những tình tiết kịch tính, đầy tưởng tượng. Tôi đọc nó mà như đọc lại chính mình. Có thể chỉ là cảm nghĩ của tôi. Nhưng đôi khi buồn phiền, hay tìm nguồn an ủi, tôi vẫn đọc lại nó.

Tại sao đám mây lơ lửng mà không rơi?

Thoạt trông, đây có vẻ là một câu hỏi đơn giản. Đám mây dù nặng có cả tấn đi nữa, nhưng khối lượng riêng nhẹ hơn không khí, nên không rơi. Còn có gì khác nữa?

Xét về vĩ mô, tức là toàn thể đám mây, có thể là như thế thật. Đám mây có thể có trọng lượng rất lớn, nhưng thể tích tổng cộng cũng rất lớn, nên trọng lượng riêng là nhẹ.

Nhưng thật ra vấn đề tế nhị hơn một chút. Đây là phân tích tôi học được từ anh Đàm Thanh Sơn. Vấn đề ở chỗ ở mức độ trung mô, đám mây không tồn tại dưới dạng hơi đồng nhất, mà dưới dạng từng hạt nước hoặc hạt băng như nhũ tương. Xét từng hạt băng, hay từng hạt nước, khối lượng riêng nặng hơn không khí, do đó câu hỏi vẫn là tại sao chúng không rơi? Nhận ra dạng thật của đám mây mới thực sự là quan trọng. Câu trả lời cho câu hỏi trên đây, nếu suy nghĩ đến, thực ra cũng đơn giản. Ai cũng thấy các hạt bụi lơ lửng trong không khí mà không rơi, hoặc là rơi rất chậm và dễ dàng bị gió cuốn đi trước khi rơi xuống. Các hạt nước hay các hạt băng của đám mây cũng hệt như vậy mà thôi.

Thế có thể đã là một câu trả lời khá rõ ràng, nhưng ta có cũng có thể đi sâu hơn một chút, xem xét từ khía cạnh vật lý học tại sao các hạt bụi hay các hạt nước nhỏ lại rơi xuống rất chậm và dễ dàng bị gió cuốn đi. Đây là giải thích theo ngôn ngữ nhà nghề: ma sát với không khí của các hạt bụi khiến cho chúng có vận tốc nhỏ. Cụ thể là, ma sát nhớt tỷ lệ với vận tốc, với hệ số tỷ lệ tỷ lệ bậc nhất với bán kính hạt bụi, nếu giả sử đơn giản hạt bụi là hình cầu. Mặt khác trọng lượng hạt bụi, vốn là lực chủ yếu kéo hạt lắng xuống, tỉ lệ với lập phương bán kính hạt. Do đó bán kính càng nhỏ, tỷ lệ giữa trọng lực kéo xuống và hệ số ma sát càng nhỏ, vận tốc của hạt tương đối với không khí do đó không thể đạt được giá trị cao do chịu ảnh hưởng lớn của độ nhớt.

Suy nghĩ rộng ra hơn một chút, ta sẽ thấy đây là một vấn đề tinh tế và tế nhị: các hạt hay các vật thể có kích thước khác nhau chịu tác dụng của một số loại lực ở mức độ khác nhau (không có bất biến đồng dạng). Đó là lý do tại sao bụi thì bay, còn sỏi đá và con người thì rơi xuống. Vật thể có kích thước khác nhau hành xử theo cách khác nhau. Galilei cũng đã từng nhận ra điều tương tự với lực đàn hồi cố kết các vật thể: trọng lượng của các vật thể tỷ lệ với luỹ thừa bậc ba của kích thước, nhưng áp suất lên mặt đỡ chỉ giảm theo bình phương kích thước mặt đỡ. Điều này về lý thuyết giới hạn kích thước khối vật chất có thể tồn tại, ít ra về mặt lý thuyết, ở mức mà sức bền vật liệu còn có thể chịu được trọng lượng của bản thân vật thể. Xét trong sinh vật học, tại sao sinh vật có cấu trúc tế bào? Đó là vì cấu trúc tế bào làm tăng diện tích tiếp xúc, tăng khả năng trao đổi chất giữa không gian nội bào với bên ngoài: thể tích tăng theo lập phương kích thước, và diện tích thì tăng theo bình phương của kích thước; do đó kích thước càng nhỏ, tỷ lệ giữa diện tích bề mặt và thể tích nội bào càng lớn. Đây là điều mà nhà sinh vật học nào cũng biết nằm lòng, có lẽ chẳng ai còn buồn phân tích thêm. Nhưng liên hệ hiện tượng đó với câu hỏi tại sao đám mây không rơi có lẽ là đặc thù tư duy của vật lý học.

PS: Đi xa hơn, ta có thể phân tích kích thước tối ưu của sinh vật, giải thích tại sao đại đa số các sinh vật không có kích thước quá lớn. Đây là một vấn đề sâu sắc và thú vị mà tôi hi vọng có thể trở lại sau này.