Về một dạng nghịch lý đường hầm của thuyết tương đối hẹp

Câu hỏi này lấy từ Facebooker Lê Tuấn: ‘Xét một thanh có độ dài nghỉ \(L_0\), chuyển động với vận tôc \(v\) từ trái qua phải trượt trên một mặt phẳng (hệ quy chiếu Trái đất). Trên mặt phẳng có một khe có độ rộng \(L_0\). Do sự co Lorentz, độ dài đo được của thanh trên hệ quy chiếu Trái đất là \(L < L_0\), do đó khi đi qua khe, thanh sẽ bị kéo rơi xuống phía dưới mặt phẳng. Tuy nhiên trong hệ quy chiếu chuyển động với thanh, thanh dài \(L_0\), và mặt phẳng chuyển động nên khe hẹp lại là \(L\). Hỏi rằng làm thế nào mà thanh rơi xuống dưới được mặt phẳng?’

Câu hỏi này đúng là rất gần với nghịch lý đường hầm, tuy nhiên có một chút khác biệt thú vị. Ta hãy bắt đầu với nghịch lý đường hầm, và đi đến câu trả lời cho câu hỏi trên.

1. Nghịch lý đường hầm: Một con tàu có độ dài nghỉ \(L_0\), chuyển động với vận tốc \(v\) từ trái qua phải chui vào đường hầm có độ dài \(L_0\). Do chuyển động, chiều dài đo được của con tàu là \(L < L_0\), do đó sẽ nằm gọn trong đường hầm. Khi con tàu nằm gọn trong đường hầm, ta đóng cửa ở hai đầu đường hầm. Tuy nhiên trong hệ quy chiếu gắn với con tàu, đường hầm chuyển động (ngược lại), do đó có độ dài đo được là \(L\), ngắn hơn con tàu \(L_0\). Làm thế nào mà nó có thể nằm lọt trong đường hầm?

Câu trả lời trong trường hợp này là, thực ra trong hệ quy chiếu của mình, con tàu không bao giờ nằm trọn vẹn trong đường hầm. Ta hãy đánh dấu hai đầu con tàu từ trái qua phải là b và a, hai đầu đường hầm từ trái qua phải là B và A. Tàu chuyển động từ trái qua phải. Trong hệ quy chiếu Trái đất, cửa B và A đồng thời đóng lại, nhốt con tàu ở trong. Sau một thời gian nhất định, con tàu sẽ chuyển động tiếp và đầu a xô vào cửa A. Trong hệ quy chiếu của con tàu, ta sẽ thấy sự kiện đóng cửa B và A là không đồng thời. Cụ thể là cửa A sẽ đóng trước, con tàu tiến vào, đầu a xô vào cửa A, sau đó khi đầu b đạt đến B, thì cửa B mới đóng lại.

2. Mặt phẳng dâng lên: Thay đổi bài toán ban đầu chút ít. Thay vì xét thanh chuyển động trong trọng trường (hay lực gì khác) và rơi xuống, ta giả sử không có lực tác dụng. Và khi thanh nằm giữa khe, ta nâng nhanh đồng thời (trong hệ quy chiếu Trái đất) mặt phẳng. Kết quả là thanh bây giờ sẽ nằm dưới mặt phẳng. Điều này vẫn hoàn toàn là nghịch lý đường hầm. Tương tự như trên, từ trái qua, ta đánh dấu hai đầu của thanh là b và a, và hai bờ của khe là B và A tương ứng. Trong hệ quy chiếu của thanh, ta sẽ thấy bờ A dâng lên trước, thanh đi xuống dưới nửa mặt phẳng bên phía A, trong khi đó phía vẫn ở trên mặt phẳng phía B. Chỉ khi đầu b đạt đến B, bờ B mới dâng lên, và kết quả là toàn bộ thanh cũng nằm bên dưới mặt phẳng. Để ý rằng: mặt phẳng vốn nằm ngang trong hệ quy chiếu Trái đất, sẽ không chuyển động song song nằm ngang trong hệ quy chiếu của thanh nữa (đầu A lên trước, đầu B lên sau).

3. Thanh bị kéo xuống: Tiếp tục thay đổi bài toán chút ít. Giờ thay vì dâng mặt phẳng lên, khi thanh nằm giữa khe, ta kéo nhanh thanh xuống dưới mà không để ảnh hưởng gì đến chuyển động song song của nó với mặt phẳng. Kết quả thanh cũng sẽ đi xuống dưới mặt phẳng. Trong hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc \(v\) ta thấy gì? Nên nhớ chiều dài của thanh trong hệ quy chiếu này dài hơn so với chiều dài khe. Thật ra ta sẽ thấy đầu a của thanh xuống trước, trong khi đầu b vẫn chưa xuống. Sau một khoảng thời gian, khi đầu b đạt đến bờ B, nó mới đi xuống. Như vậy thực tế thanh sẽ nằm nghiêng trong quá trình đi xuống và 'fit' vào với độ dài hẹp hơn của khe.

Cho đến bây giờ, bài toán vẫn thuần tuý là nghịch lý đường hầm mà thôi. Tuy nhiên lập luận này làm sáng tỏ rằng: trong hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc \(v\), thanh dài hơn khe, nhưng nó vẫn có thể đi xuống dưới khe hẹp mà không có mâu thuẫn gì. Do đó ta có thể giới hạn làm việc trong hệ quy chiếu Trái đất (và biến đổi hệ quy chiếu khi cần thiết).

Vấn đề thực sự của câu hỏi lại hơi tế nhị hơn, và thực ra là một vấn đề động lực học chứ không thuần tuý là động học. Câu hỏi thực sự là dưới lực tác dụng, khi nào thì thanh rơi xuống, và rơi xuống thế nào? Đây thực tế là một câu hỏi phức tạp, liên quan đến khái niệm vật rắn trong thuyết tương đối hẹp. Thực tế thì chuyển động thực của thanh phụ thuộc tương tác giữa các thành phần trong thanh. Để thấy rõ điều này, ta hãy mô hình hoá sự đồng bộ hoá chuyển động của thanh như sau: hai người đứng ở hai đầu thanh a và b để phát tín hiệu đồng bộ chuyển động cho nhau. Có hai trường hợp xảy ra:

4a. Đầu a điều khiển. Khi đầu a đạt đến B, thì người a phát tín hiệu về b và đi xuống ngay lập tức. Điều này có thể tương ứng với trường hợp toàn bộ khối lượng thanh tập trung ở đầu a. Các phần còn lại của thanh chuyển động đồng bộ theo lực đàn hồi liên kết chúng. Trong trường hợp này ta thấy đầu a đi xuống trước, sau đó đầu b đi xuống sau. Trường hợp này không có gì lạ, thanh rơi xuống dưới.

4b. Đầu b điều khiển. Khi đầu a đạt đến B, thậm chí đi qua, thanh vẫn không đi xuống. Đến khi đầu b đạt đến B, b phát tín hiệu về a và đi xuống. Bức tranh này tương ứng với trường hợp toàn bộ khối lượng, tức tâm trọng lực của thanh, tập trung ở đầu b. Tuy nhiên, ngay khi đó đầu a cũng sẽ không đi xuống ngay, mà phải chờ cho đến khi thu được tín hiệu của b thì mới bắt đầu đi xuống. Tính toán một chút ta sẽ thấy rằng a chỉ có thể nhận được tín hiệu của b khi bản thân đã đạt đến bờ A.

Thật vậy, khi đầu b đạt đến B, đầu a cách A một lượng \(L_0-L\). Người b sẽ phát tín hiệu ánh sáng chuyển đến a, vốn vẫn đang chuyển động với vận tốc \(v\). Tín hiệu do đó vượt qua khoảng cách \(L\) giữa hai người sau khoảng thời gian \(L/(c-v)\). Trong thời gian đó đầu a, đi thêm được một đoạn \(v L/(c-v)\). Biến đổi đơn giản ta sẽ thấy \(v L/(c-v) \ge L_0-L\). Thật vậy, để ý rằng \(L=L_0\sqrt{1-v^2/c^2}\), do đó bất đẳng thức trên tương đương với \(\sqrt{(c+v)/(c-v)} \ge 1\) luôn luôn được thoả mãn với \(v \ge 0\).

Nếu ta cho rằng khi đạt đến bờ A, đầu a có thể bám dính và kéo đầu b sang theo, thì đây là trường hợp mà thanh có thể vượt sang bên kia khe. Trong hệ quy chiếu Trái đất, đây là một kết luận không tầm thường. Nếu trọng tâm của thanh nằm ở b, thì đầu a sẽ kéo giãn thanh và đạt đến bờ bên kia. Trong hệ quy chiếu của thanh, hiện tượng tương đối rõ ràng. Thanh dài hơn, nhưng đầu a, vốn không điều khiển chuyển động thẳng đứng của thanh có thể đi qua khe dễ dàng đạt đến bờ bên kia và kéo đầu b sang theo (dù đầu này bị trọng lực kéo xuống).

Trên đây là hai trường hợp giới hạn. Tất nhiên ta có thể phân tích các trường hợp phức tạp hơn. Điểm chủ yếu ta sẽ phải xét đến sự truyền tín hiệu giữa các phần của thanh để đồng bộ hoá chuyển động của nó trong thực tế. Cũng là một câu hỏi hay ho.

Ông vua tháng Chạp tí hon

Một trong những thứ tôi yêu thích nhất ở châu Âu là những tủ sách cộng đồng. Giữa công viên, giữa thành phố, hay trong một viện nghiên cứu, nói chung là bất kỳ đâu, ta có thể tìm được một cái tủ nhỏ, nơi mọi người có thể để lại sách của mình, có thể là vì muốn người khác được cái may mắn đọc cuốn sách mà ta yêu thích, hay là hành trang đã quá nặng mà đành phải để lại cuốn sách của mình khi rời đi. Dù sao tôi cũng thấy ở nó một cái gì đó nhân văn, và thơ mộng. Mỗi lần ngó vào những tủ sách đó, tôi lạị thấy hết sức thú vị khi hình dung ra một cậu bé, một cô bé, một bà cụ đã đặt vào đó cuốn sách của mình. Tôi tò mò xem cậu bé đó, cô bé đó, bà cụ ấy đã đọc những gì. Đôi khi tự mỉm cười thích thú phát hiện ra một một cuốn sách mà tôi yêu thích.
Một buổi tình cờ lang thang trong phòng đọc của viện Max Planck, tôi vớ được cuốn ‘Ông vua tháng chạp tí hon’ của Axel Hecke. Sách viết bằng tiếng Đức, mà tôi chỉ có thể đọc ở mức chữ được chữ không. Vậy mà tôi đã yêu thích nó ngay từ những dòng đầu tiên. Đây là mấy đoạn trích:
Đoạn mở đầu:

Trong một thời gian ông vua tháng Chạp đệ Nhị bé tí và béo phệ thường viếng thăm tôi. Ông vua dài không hơn ngón tay trỏ và béo đến nỗi cái áo choàng đỏ với viền lông trắng dày không đóng nổi trước bụng.
Ông mê món pho-mát nướng. Khi ăn một miếng, ông phải ôm nó bằng cả hai tay và giữ chặt. Ông vua tí hon chỉ có thể nâng miếng pho-mát lên một chút, vì mỗi miếng pho-mát nướng đã to gần bằng cả nửa người. Ông ngoạm vào miếng pho-mát, cắn ra một miếng to khi hỏi tôi câu hỏi quen thuộc:
‘Cậu kể cho ta nghe về thế giới của cậu đi!’
Khi ông viếng thăm lần đầu, tôi nói: ‘Ở chỗ chúng tôi thì người ta được sinh ra, lớn dần lớn dần lên, đôi khi lớn cả như một cầu thủ bóng rổ. Cuối cùng thì người ta bé lại một chút. Rồi chết, con người biến mất.'
‘Thật vô lý,’ ông vua tí hon nói và cắn một miếng. ‘Tại sao người ta không bắt đầu từ khi to lớn, bé dần bé dần và cuối cùng biến mất - hiển nhiên rồi, bởi vì không còn ai thấy được nữa.’
‘Tôi tin là điều đó ngược với tự nhiên.’
‘Ở chỗ tôi thì mọi việc như thế đấy!’, ông vua nói. ‘Cha ta, vua tháng Chạp đệ Nhất một ngày kia đã trở nên bé xíu đến nỗi người hầu không còn thấy ông trên giường vào buổi sáng. Cùng ngày đó ta đăng quang.’
‘Nhưng làm thế nào mà một người to lớn có thể được sinh ra?’, tôi thắc mắc. ‘Lúc nào đó nguời ta phải nằm trong bụng mẹ, mà mẹ thì không thể bé hơn con được!’
‘Nằm trong bụng?’, ông vua Tháng Chạp thốt lên. ‘Hô hô! Một ngày kia ta tỉnh dậy trên giường, rồi đến dinh hoàng tử để làm việc, đơn giản thế thôi. Ở trong bụng! Rõ ngớ ngẩn! Người ta chỉ việc tỉnh dậy, rồi bắt đầu mọi thứ thôi.’
‘Thế làm thế nào mà người ta lại ở trên giường?’
‘Gượm đã,’ ông vua nói, ‘... ta tin là..., ờ thì một vị vua và một hoàng hậu ... ờ... thế nào ấy nhỉ?... Ta quên rồi! Ta bé quá rồi, người biết mà. Lãng trí. Cái đó tuyệt lắm, ta nhớ được thế thôi.’ Ông khẽ chặc lưỡi rồi cắn tiếp miếng pho-mát.
Tôi nói: ‘Ở chỗ chúng tôi, khi một đứa bé đến với thế giới, nó chả biết gì. Nó sẽ phải học ăn, học đi, học viết. Học sỉ mũi, và học cách ‘‘không nổi giận với mọi người.’’ Nói chung người lớn sẽ mang nó đi đây đó, sẽ quay đầu nó về bên này bên kia, hay nâng cằm nó.’

Mở đầu chương kế:

Có những thời gian tôi buồn, rất buồn bã đến nỗi tôi thường lang thang qua những con phố vào buổi tối và cảm thấy vui mừng khi trời đổ mưa. Phố xá bụi bặm và ướt át, và hình phản chiếu của nỗi buồn trên những vũng nước đọng khiến lòng tôi dịu lại. Tôi cảm thấy bớt lẻ loi.
Lang thang chán, tôi lại leo lên chiếc cầu thang gỗ cũ kỹ trở về căn gác trọ, thả mình lên ghế. Một lần như vậy, ông vua Tháng Chạp mò đến từ khe hở giữa kệ sách và tường, ông hỏi: ‘Cậu đã biến đi đâu vậy?’
‘À...,’ tôi nói.
‘Mọi thứ thế nào?’
Tôi nói: ‘Ààààà...’
‘Cậu làm gì bây giờ?’
‘Ngủ,’ tôi nói.
‘Đến chỗ tôi một lát,’ ông vua Tháng Chạp nói.
‘Làm sao mà tôi đến được?’, tôi nói. ‘Ông ở sau một cái kệ sách, mà đến đấy phải chui qua một cái khe bé tí, và tôi bây giờ thì quá to.’...

Rõ ràng cuốn sách chẳng phải kiểu tiểu thuyết tình yêu lãng mạn, hay thể loại viễn tưởng, trinh thám. Đó là một cuốn sách giản dị, có ít nhiều hơi hướng của Hoàng tử bé. Thế nào đọc nó, ta chẳng bị cuốn đi vào suy tư của tác giả, hay vào những tình tiết kịch tính, đầy tưởng tượng. Tôi đọc nó mà như đọc lại chính mình. Có thể chỉ là cảm nghĩ của tôi. Nhưng đôi khi buồn phiền, hay tìm nguồn an ủi, tôi vẫn đọc lại nó.

Tại sao đám mây lơ lửng mà không rơi?

Thoạt trông, đây có vẻ là một câu hỏi đơn giản. Đám mây dù nặng có cả tấn đi nữa, nhưng khối lượng riêng nhẹ hơn không khí, nên không rơi. Còn có gì khác nữa?

Xét về vĩ mô, tức là toàn thể đám mây, có thể là như thế thật. Đám mây có thể có trọng lượng rất lớn, nhưng thể tích tổng cộng cũng rất lớn, nên trọng lượng riêng là nhẹ.

Nhưng thật ra vấn đề tế nhị hơn một chút. Đây là phân tích tôi học được từ anh Đàm Thanh Sơn. Vấn đề ở chỗ ở mức độ trung mô, đám mây không tồn tại dưới dạng hơi đồng nhất, mà dưới dạng từng hạt nước hoặc hạt băng như nhũ tương. Xét từng hạt băng, hay từng hạt nước, khối lượng riêng nặng hơn không khí, do đó câu hỏi vẫn là tại sao chúng không rơi? Nhận ra dạng thật của đám mây mới thực sự là quan trọng. Câu trả lời cho câu hỏi trên đây, nếu suy nghĩ đến, thực ra cũng đơn giản. Ai cũng thấy các hạt bụi lơ lửng trong không khí mà không rơi, hoặc là rơi rất chậm và dễ dàng bị gió cuốn đi trước khi rơi xuống. Các hạt nước hay các hạt băng của đám mây cũng hệt như vậy mà thôi.

Thế có thể đã là một câu trả lời khá rõ ràng, nhưng ta có cũng có thể đi sâu hơn một chút, xem xét từ khía cạnh vật lý học tại sao các hạt bụi hay các hạt nước nhỏ lại rơi xuống rất chậm và dễ dàng bị gió cuốn đi. Đây là giải thích theo ngôn ngữ nhà nghề: ma sát với không khí của các hạt bụi khiến cho chúng có vận tốc nhỏ. Cụ thể là, ma sát nhớt tỷ lệ với vận tốc, với hệ số tỷ lệ tỷ lệ bậc nhất với bán kính hạt bụi, nếu giả sử đơn giản hạt bụi là hình cầu. Mặt khác trọng lượng hạt bụi, vốn là lực chủ yếu kéo hạt lắng xuống, tỉ lệ với lập phương bán kính hạt. Do đó bán kính càng nhỏ, tỷ lệ giữa trọng lực kéo xuống và hệ số ma sát càng nhỏ, vận tốc của hạt tương đối với không khí do đó không thể đạt được giá trị cao do chịu ảnh hưởng lớn của độ nhớt.

Suy nghĩ rộng ra hơn một chút, ta sẽ thấy đây là một vấn đề tinh tế và tế nhị: các hạt hay các vật thể có kích thước khác nhau chịu tác dụng của một số loại lực ở mức độ khác nhau (không có bất biến đồng dạng). Đó là lý do tại sao bụi thì bay, còn sỏi đá và con người thì rơi xuống. Vật thể có kích thước khác nhau hành xử theo cách khác nhau. Galilei cũng đã từng nhận ra điều tương tự với lực đàn hồi cố kết các vật thể: trọng lượng của các vật thể tỷ lệ với luỹ thừa bậc ba của kích thước, nhưng áp suất lên mặt đỡ chỉ giảm theo bình phương kích thước mặt đỡ. Điều này về lý thuyết giới hạn kích thước khối vật chất có thể tồn tại, ít ra về mặt lý thuyết, ở mức mà sức bền vật liệu còn có thể chịu được trọng lượng của bản thân vật thể. Xét trong sinh vật học, tại sao sinh vật có cấu trúc tế bào? Đó là vì cấu trúc tế bào làm tăng diện tích tiếp xúc, tăng khả năng trao đổi chất giữa không gian nội bào với bên ngoài: thể tích tăng theo lập phương kích thước, và diện tích thì tăng theo bình phương của kích thước; do đó kích thước càng nhỏ, tỷ lệ giữa diện tích bề mặt và thể tích nội bào càng lớn. Đây là điều mà nhà sinh vật học nào cũng biết nằm lòng, có lẽ chẳng ai còn buồn phân tích thêm. Nhưng liên hệ hiện tượng đó với câu hỏi tại sao đám mây không rơi có lẽ là đặc thù tư duy của vật lý học.

PS: Đi xa hơn, ta có thể phân tích kích thước tối ưu của sinh vật, giải thích tại sao đại đa số các sinh vật không có kích thước quá lớn. Đây là một vấn đề sâu sắc và thú vị mà tôi hi vọng có thể trở lại sau này.