Câu hỏi này lấy từ Facebooker Lê Tuấn: ‘Xét một thanh có độ dài nghỉ \(L_0\), chuyển động với vận tôc \(v\) từ trái qua phải trượt trên một mặt phẳng (hệ quy chiếu Trái đất). Trên mặt phẳng có một khe có độ rộng \(L_0\). Do sự co Lorentz, độ dài đo được của thanh trên hệ quy chiếu Trái đất là \(L < L_0\), do đó khi đi qua khe, thanh sẽ bị kéo rơi xuống phía dưới mặt phẳng. Tuy nhiên trong hệ quy chiếu chuyển động với thanh, thanh dài \(L_0\), và mặt phẳng chuyển động nên khe hẹp lại là \(L\). Hỏi rằng làm thế nào mà thanh rơi xuống dưới được mặt phẳng?’
Câu hỏi này đúng là rất gần với nghịch lý đường hầm, tuy nhiên có một chút khác biệt thú vị. Ta hãy bắt đầu với nghịch lý đường hầm, và đi đến câu trả lời cho câu hỏi trên.
1. Nghịch lý đường hầm: Một con tàu có độ dài nghỉ \(L_0\), chuyển động với vận tốc \(v\) từ trái qua phải chui vào đường hầm có độ dài \(L_0\). Do chuyển động, chiều dài đo được của con tàu là \(L < L_0\), do đó sẽ nằm gọn trong đường hầm. Khi con tàu nằm gọn trong đường hầm, ta đóng cửa ở hai đầu đường hầm. Tuy nhiên trong hệ quy chiếu gắn với con tàu, đường hầm chuyển động (ngược lại), do đó có độ dài đo được là \(L\), ngắn hơn con tàu \(L_0\). Làm thế nào mà nó có thể nằm lọt trong đường hầm?
Câu trả lời trong trường hợp này là, thực ra trong hệ quy chiếu của mình, con tàu không bao giờ nằm trọn vẹn trong đường hầm. Ta hãy đánh dấu hai đầu con tàu từ trái qua phải là b và a, hai đầu đường hầm từ trái qua phải là B và A. Tàu chuyển động từ trái qua phải. Trong hệ quy chiếu Trái đất, cửa B và A đồng thời đóng lại, nhốt con tàu ở trong. Sau một thời gian nhất định, con tàu sẽ chuyển động tiếp và đầu a xô vào cửa A. Trong hệ quy chiếu của con tàu, ta sẽ thấy sự kiện đóng cửa B và A là không đồng thời. Cụ thể là cửa A sẽ đóng trước, con tàu tiến vào, đầu a xô vào cửa A, sau đó khi đầu b đạt đến B, thì cửa B mới đóng lại.
2. Mặt phẳng dâng lên: Thay đổi bài toán ban đầu chút ít. Thay vì xét thanh chuyển động trong trọng trường (hay lực gì khác) và rơi xuống, ta giả sử không có lực tác dụng. Và khi thanh nằm giữa khe, ta nâng nhanh đồng thời (trong hệ quy chiếu Trái đất) mặt phẳng. Kết quả là thanh bây giờ sẽ nằm dưới mặt phẳng. Điều này vẫn hoàn toàn là nghịch lý đường hầm. Tương tự như trên, từ trái qua, ta đánh dấu hai đầu của thanh là b và a, và hai bờ của khe là B và A tương ứng. Trong hệ quy chiếu của thanh, ta sẽ thấy bờ A dâng lên trước, thanh đi xuống dưới nửa mặt phẳng bên phía A, trong khi đó phía vẫn ở trên mặt phẳng phía B. Chỉ khi đầu b đạt đến B, bờ B mới dâng lên, và kết quả là toàn bộ thanh cũng nằm bên dưới mặt phẳng. Để ý rằng: mặt phẳng vốn nằm ngang trong hệ quy chiếu Trái đất, sẽ không chuyển động song song nằm ngang trong hệ quy chiếu của thanh nữa (đầu A lên trước, đầu B lên sau).
3. Thanh bị kéo xuống: Tiếp tục thay đổi bài toán chút ít. Giờ thay vì dâng mặt phẳng lên, khi thanh nằm giữa khe, ta kéo nhanh thanh xuống dưới mà không để ảnh hưởng gì đến chuyển động song song của nó với mặt phẳng. Kết quả thanh cũng sẽ đi xuống dưới mặt phẳng. Trong hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc \(v\) ta thấy gì? Nên nhớ chiều dài của thanh trong hệ quy chiếu này dài hơn so với chiều dài khe. Thật ra ta sẽ thấy đầu a của thanh xuống trước, trong khi đầu b vẫn chưa xuống. Sau một khoảng thời gian, khi đầu b đạt đến bờ B, nó mới đi xuống. Như vậy thực tế thanh sẽ nằm nghiêng trong quá trình đi xuống và 'fit' vào với độ dài hẹp hơn của khe.
Cho đến bây giờ, bài toán vẫn thuần tuý là nghịch lý đường hầm mà thôi. Tuy nhiên lập luận này làm sáng tỏ rằng: trong hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc \(v\), thanh dài hơn khe, nhưng nó vẫn có thể đi xuống dưới khe hẹp mà không có mâu thuẫn gì. Do đó ta có thể giới hạn làm việc trong hệ quy chiếu Trái đất (và biến đổi hệ quy chiếu khi cần thiết).
Vấn đề thực sự của câu hỏi lại hơi tế nhị hơn, và thực ra là một vấn đề động lực học chứ không thuần tuý là động học. Câu hỏi thực sự là dưới lực tác dụng, khi nào thì thanh rơi xuống, và rơi xuống thế nào? Đây thực tế là một câu hỏi phức tạp, liên quan đến khái niệm vật rắn trong thuyết tương đối hẹp. Thực tế thì chuyển động thực của thanh phụ thuộc tương tác giữa các thành phần trong thanh. Để thấy rõ điều này, ta hãy mô hình hoá sự đồng bộ hoá chuyển động của thanh như sau: hai người đứng ở hai đầu thanh a và b để phát tín hiệu đồng bộ chuyển động cho nhau. Có hai trường hợp xảy ra:
4a. Đầu a điều khiển. Khi đầu a đạt đến B, thì người a phát tín hiệu về b và đi xuống ngay lập tức. Điều này có thể tương ứng với trường hợp toàn bộ khối lượng thanh tập trung ở đầu a. Các phần còn lại của thanh chuyển động đồng bộ theo lực đàn hồi liên kết chúng. Trong trường hợp này ta thấy đầu a đi xuống trước, sau đó đầu b đi xuống sau. Trường hợp này không có gì lạ, thanh rơi xuống dưới.
4b. Đầu b điều khiển. Khi đầu a đạt đến B, thậm chí đi qua, thanh vẫn không đi xuống. Đến khi đầu b đạt đến B, b phát tín hiệu về a và đi xuống. Bức tranh này tương ứng với trường hợp toàn bộ khối lượng, tức tâm trọng lực của thanh, tập trung ở đầu b. Tuy nhiên, ngay khi đó đầu a cũng sẽ không đi xuống ngay, mà phải chờ cho đến khi thu được tín hiệu của b thì mới bắt đầu đi xuống. Tính toán một chút ta sẽ thấy rằng a chỉ có thể nhận được tín hiệu của b khi bản thân đã đạt đến bờ A.
Thật vậy, khi đầu b đạt đến B, đầu a cách A một lượng \(L_0-L\). Người b sẽ phát tín hiệu ánh sáng chuyển đến a, vốn vẫn đang chuyển động với vận tốc \(v\). Tín hiệu do đó vượt qua khoảng cách \(L\) giữa hai người sau khoảng thời gian \(L/(c-v)\). Trong thời gian đó đầu a, đi thêm được một đoạn \(v L/(c-v)\). Biến đổi đơn giản ta sẽ thấy \(v L/(c-v) \ge L_0-L\). Thật vậy, để ý rằng \(L=L_0\sqrt{1-v^2/c^2}\), do đó bất đẳng thức trên tương đương với \(\sqrt{(c+v)/(c-v)} \ge 1\) luôn luôn được thoả mãn với \(v \ge 0\).
Nếu ta cho rằng khi đạt đến bờ A, đầu a có thể bám dính và kéo đầu b sang theo, thì đây là trường hợp mà thanh có thể vượt sang bên kia khe. Trong hệ quy chiếu Trái đất, đây là một kết luận không tầm thường. Nếu trọng tâm của thanh nằm ở b, thì đầu a sẽ kéo giãn thanh và đạt đến bờ bên kia. Trong hệ quy chiếu của thanh, hiện tượng tương đối rõ ràng. Thanh dài hơn, nhưng đầu a, vốn không điều khiển chuyển động thẳng đứng của thanh có thể đi qua khe dễ dàng đạt đến bờ bên kia và kéo đầu b sang theo (dù đầu này bị trọng lực kéo xuống).
Trên đây là hai trường hợp giới hạn. Tất nhiên ta có thể phân tích các trường hợp phức tạp hơn. Điểm chủ yếu ta sẽ phải xét đến sự truyền tín hiệu giữa các phần của thanh để đồng bộ hoá chuyển động của nó trong thực tế. Cũng là một câu hỏi hay ho.
No comments:
Post a Comment